陈传璋数学分析
<<数学分析> > 第二版 陈传璋
2. 教程(上册)
Section titled “2. 教程(上册)”../../attachment/pdf/数学分析（第二版）陈传璋上册教材.pdf3. 教程(下册)
Section titled “3. 教程(下册)”../../attachment/pdf/数学分析(第二版) 下册 陈传璋.pdf4. 习题答案
Section titled “4. 习题答案”../../attachment/pdf/复旦大学+数学分析+第三版+答案+陈传璋.pdf5.1. 集合
Section titled “5.1. 集合”5.1.1. 常见集合
Section titled “5.1.1. 常见集合”- 自然数集 N
- 整数集 Z
- 有理数集 Q
- 实数集 R
5.1.2. 结合运算
Section titled “5.1.2. 结合运算”- 并
- 交
- 补
- 差
5.2. 区间
Section titled “5.2. 区间”- 开区间
- 闭区间
- 半开区间
- 邻域
对偶运算规则
5.3. 函数
Section titled “5.3. 函数”5.3.1. 初等函数
Section titled “5.3.1. 初等函数”- 基本初等函数
- 幂函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
- 反三角函数
- 特殊函数
- 常数函数
- 绝对值函数
- 符号函数
- 取整函数
- 分段函数
- 初等函数
由常数与基本初等函数有限的四则运算与复合构成的。 - 有理函数
真分式/假分式。假分式可以分解成一个多项式和真分式之和- 最简分式
- $\frac{A}{x-a}$
- $\frac{A}{(x-a)^n}$
- $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$
- $\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$
- 最简分式
5.3.2. 函数极限
Section titled “5.3.2. 函数极限”- 定义
- 无穷大极限，$-\infty,+\infty$
- 有限值极限
- 运算法则
- 四则运算
- 复合函数
- 性质
- 唯一性
- 局部有界性
- 局部保号性
- 定理
- 夹逼准则
- 单调有界收敛
- 重要极限
- $\lim\limits_{x=0}\frac{sinx}{x}$
- $\lim\limits_{x=\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
- 无穷小/大量
- 无穷小*有界函数 = 无穷小
- 无穷大/小，分数转换
- 无穷小比较
- 高阶
- 低阶
- 同阶
- 等价(可以近似互等为等价无穷小+高阶无穷小)
5.3.3. 函数连续性
Section titled “5.3.3. 函数连续性”左极限等于右极限
- 间断点
- x 处无定义
- x 处有定义，但是左/右处某一个无定义或者两者不相等
- x 处有定义并且左/右极限存在并且相等，但是极限不等于定义值
- 初等函数
- 四则运算连续
- 反函数，单调连续-> 单调连续
- 复合函数
- 定理
- 最大值、最小值定理(闭区间连续)
- 介值定理(闭区间连续)
- 零点定理(闭区间连续)
5.3.4. 函数导数
Section titled “5.3.4. 函数导数”- 一阶导数
- 可导与连续的关系
- 可导必然连续、连续不一定可导
- 运算规则
- 加减
- 乘
- 除
- 反函数
- 复合函数
- 隐函数
- 参数方程
- 基本求导公式
- 可导与连续的关系
- 高级导数
- 运算法则
- 加减
- 乘(莱布尼茨公式)
- 运算法则
5.3.5. 函数微分
Section titled “5.3.5. 函数微分”差分的线性转化模型
- 中值定理
- 费马引理
- 罗尔定理 闭区间连续、开区间可导
- 拉格朗日中值定理 闭区间连续、开区间可导
- 柯西中值定理 闭区间连续、开区间可导
- 洛必达法则
- 泰勒中值定理
5.3.6. 函数形态
Section titled “5.3.6. 函数形态”- 单调性
- 极值
- 凹凸性
- 拐点
- 渐近线
- 图像
- 确定定义域，奇偶性、周期性、有界性
- 获取一阶、二阶导数、并且获取对应零点，划分区间
- 区间确定单调、极值点、凹凸、拐点
- 确定渐近线
- 确定关键节点(断点、极值点等), 添加辅助节点
5.3.7. 函数积分
Section titled “5.3.7. 函数积分”- 可积与函数的关系
- 连续必然可积
- 在 $[a,b]$ 中有有限个间断点，在 [a, b] 上可积
- 积分与导数之间的关系
- 逆运算
- 积分分类
- 不定积分
- 定积分
- 反常积分
- 不定积分公式
- 不定积分运算
- 加减
- 系数
- 换元法
- 第一类
- 第二类
- 分部积分法
- 特殊函数不定积分
- 有理函数：分解 -> 计算
- 三角函数有理式: $u=tan\frac{x}{2}$ 进行替换
- 简单无理根式: 变量替换为有理函数
- 定积分性质
- 被积函数
- 原函数可积，绝对值也可积
- 区间可积，子区间也可积
- 线性性质
- 可加与齐次
- 区间有限可加性
- 保序性
- 估值性质
- 积分中值定理
- 被积函数
- 积分函数
- 分类
- 积分上限函数
- 积分下限函数
- 性质
- 被积函数连续，积分函数可导
- 被积函数连续，积分函数为一个原函数 不定积分与定积分的联系
- 分类
- 牛顿-莱布尼茨公式
- 定积分几何意义
- 平面图形面积
- 空间立体的体积
- 曲线的弧长
5.3.8. 微分方程
Section titled “5.3.8. 微分方程”- 概念
- 阶
- 解
- 通解
- 特解
- 初值问题
- 一阶微分方程
- 可分离微分方程: $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$
- 齐次
5.4. 数列
Section titled “5.4. 数列”- 常见数列
- 等差数列
- 等比数列
- 数列极限
- 极限运算法则
- 加减
- 乘法
- 交换
- 除法
- 性质
- 唯一性
- 有界性
- 保号性
- 子列收敛性
- 定理
- 夹逼准则
- 单调有界收敛
- 极限运算法则